\subsubsection{Esempio 5.8}
Il campo elettrico in condensatore piano riempito in parte
\begin{equation}
E_1 = \frac{\sigma_1}{\epsilon_0}
\end{equation}
e
\begin{equation}
E_2 = \frac{\sigma_2 - \sigma_p}{\epsilon_0}
\end{equation}
e i due $E_1$ ed $E_2$ devono essere eguali si ha
\begin{equation}
\frac{\sigma_2}{\kappa} = \sigma_1
\end{equation}

Nella parte 1 non c\`e dielettrico
\begin{equation}
\vec{D}_1 = \epsilon_0 \vec{E}_1
\end{equation}
mentre nella parte 2 \`e presente il dielettrico
\begin{equation}
\vec{D}_2 = \epsilon_0 \vec{E}_2 + \vec{P}_2= \epsilon_0 \kappa
 \vec{E}_2 = \epsilon_0 \kappa \frac{\sigma_2}{\kappa \epsilon_0} =
 \sigma_2
\end{equation}

manca la relazione che lega le sigma in funzione della carica totale
\begin{equation}
q = x \, d \, \sigma_2 + (d -x) d \, \sigma_1 = d \, \sigma_1 [\kappa \,
 x + d - x] = \sigma_1 \, d ((\kappa -1) x + d)
\end{equation}
esplicitando $\sigma_1$ e $\sigma_2$
\begin{equation}
\sigma_1 = \frac{q}{d \left[ (\kappa -1) x +d \right]}
\end{equation}

\begin{equation}
\sigma_2 = \frac{\kappa \, q}{d \left[ (\kappa -1) x +d \right]}
\end{equation}
allora da ref e ref
\begin{equation}
\sigma_P = \frac{(\kappa -1) q}{d \left[ (\kappa -1) x +d \right]}
\end{equation}
e i campi elettrici
\begin{equation}
E_1 = E_2 = E = \frac{\sigma_1}{\epsilon_0}
\end{equation}
e la capacit\`a vale
\begin{equation}
 C (x) = \frac{q}{V(x)} = \frac{ d \left[ (\kappa -1) x +d \right]}{h}
\end{equation}
che \`e la stessa cosa di un condensatore in cui
\begin{equation}
=> \kappa \frac{dx}{h} \epsilon_0 + \frac{d(d-x)}{h} \epsilon_0
\end{equation}
che \`e come se ci fossero due condensatori in parallelo, uno con il
dielettrico e uno senza. L'energia elettrostatica vale
\begin{equation}
U_e = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} = \frac{q^2 \, h}{2 \epsilon_0}
 \frac{1}{d \left[ (\kappa -1) x +d \right]}
\end{equation}

\subsubsection{Esempio 5.8}
Chiede di sapere quanto vale la forza che ``risucchia'' il dielettrico
(q costante).

Si vede che
\begin{equation}
U_e (d + dx) - U_e(x) = - F \, dx
\end{equation}
da cui
\begin{equation}
F = \frac{\partial U_e}{\partial x} = \frac{1}{2} (\kappa -1 )
 \epsilon_0 \, h \, d \, E^2(x)
\end{equation}
GRAFICO DELLA FORZA

nel caso della Capacit\`a costante
\begin{equation}
d U_e(x) = \frac{1}{2} V^2 d C(x)
\end{equation}
il lavoro non pu\`o essere dato da questo perch\'e deve contrivbuire
anche una parte del generatore per mantenere la carica costante. Il
generatore compie lavoro di
\begin{equation}
d W_{gen} = V \, dq = V^2 dC
\end{equation}
ci saranno due contributi per la variazione dell'energia
\begin{equation}
(dW)_F = F \, dx = \frac{V^2 \, dC}{2}
\end{equation}
e la forza \`e data da
\begin{equation}
F = \frac{V^2}{2} \frac{dC}{dx} = \left( \frac{d U_e}{dx} \right)_V
\end{equation}
a $V$ costante.

In maniera alternativa: se il generatore fa il lavoro ref() significa
\begin{equation}
d U_{gen}= - dW = - V \, dq
\end{equation}
e significa che l'energia totale \`e data da
\begin{equation}
dU_{tot} = dU_e + dU_{gen} = dU_e - V^2 \, dC = - \frac{V^2 \, dC}{2}
\end{equation}
o anche che
\begin{equation}
\left( F \right)_V = - \frac{\partial U_{tot}}{\patial x} =
 \frac{V^2}{2} \frac{dC}{dx}
\end{equation}
ed \`e identica a caso
\begin{equation}
\left( F \right)_q = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} \frac{dC}{dx} =
 \frac{1}{2} V^2 \frac{dC}{dx} = - \left( \frac{\partial U_{e}}{\patial
x} \right)_q
\end{equation}
anche se sembrano diversi ma le formule ref e ref sono eguali

dove \`e un risultato generale.


\subsubsection{Esempio 5.11}

Vedi libro
\begin{equation}
\alpha_d = \frac{P_0^2}{3 \epsilon_0 \, k_B \, T}
\end{equation}


\begin{equation}
n \alpha_e = 0.25 \, 1-^{-3}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{n \, P_)^2}{3 \epsilon_0 \, k_B \, T} = 1.47
\end{equation}

\begin{equation}
n = \frac{N}{V} = \frac{P}{k_B \, T} = 1.38 \, 10^{25} \ m^{-3}
\end{equation}

\begin{equation}
P_0 = 6.25 \, 10^{-30} \ C \, m
\end{equation}

\begin{equation}
P = \epsilon_0 (\kappa -1 ) E= 3.54 \, 10^{-8} \ \frac{C}{m^2}
\end{equation}

con $E = + \infty$ i dipoli sono orientati allo stesso modo
\begin{equation}
P_{E=+\infty} = n \, P_0 = 8.63 \, 10^{-5} \, \frac{C}{m^2}
\end{equation}

e confrontando
\begin{equation}
P_{E=+\infty} = 2440 \, P
\end{equation}

\chapter{Onde}


La pressione \`e data
\begin{equation}
P(\vec{r}, t) = P_c + \Delta P(\vec{r}, t)
\end{equation}

Prendiamo la coordinata $\xi(\vec{r}, t)$ \`e soggeta alle equazioni
delle forze e mi aspetto che rispetti le equazioni di newton.

Cerco la derivata seconda della coordinata spaziale $\xi$ sar\`a una
funzione legata alla forza dipendente da $\xi$ stesso e dalle
derivate/gradiente successive
\begin{equation}
\ddot{\xi}(\vec{r}, t) = F(\xi, \vec{\nabla}\xi, \nabla^2 \xi, \ldots)
\end{equation}

la funzione non deve dipendere da $\xi$ ma solo dalle sue derivate
perc\'e se spostiamo il punto di riferimento non vogliamo che l'onda
cambi (l'equazione cambi). Ci\`o comporta
\begin{equation}
\ddot{\xi}(\vec{r}, t) = F(\xi, \vec{\nabla}\xi, \nabla^2 \xi, \ldots) =
  = F(\xi + \xi_0, \vec{\nabla}\xi, \nabla^2 \xi, \ldots)
\end{equation}
cio\`e
\begin{equation}
\ddot{\xi}(\vec{r}, t) = F(\vec{\nabla}\xi, \nabla^2 \xi, \ldots)
\end{equation}

Introduco un'approsimazione. Scelgo un riferimento tale che
$\xi_{riposo}=0$ sia ad altezza zero e considero perturbazioni tali che
$\xi \approx 0$, non perturbino troppo lo stato di equilibrio.  Se $\xi$
\`e piccola anche le sue derivate saranno abbastanza piccole. In questa
situazione posso sviluppare in serie di Mc-Laurin

\begin{equation}
\ddot{\xi}(\vec{r}, t) = F(0,0,\ldots) + \vec{b} \cdot \vec{\nabla} \xi
 + v^2 \nabla^2 \xi + \ldots
\end{equation}

Se metto la condizione di riposo $\xi =0$ cos\`i tutte le sue derivate e
si ricava che
\begin{equation}
F(0,0,\ldots)=0
\end{equation}

mi aspetto che l'equazione $\vec{b} \cdot \vec{\nabla} \xi$ non
esita. Allora risulta che
\begin{equation}
\ddot{\xi}(\vec{r}, t) = v^2 \nabla^2 \xi(\vec{r}, t)
\end{equation}
e viene detta \emph{Equazione di D'Alembert}

e ricritta si ha l'\emph{Equazione d'Onda}
\begin{equation}
\ddot{\xi}(\vec{r}, t) = v^2 \, \xi''(\vec{r}, t)
\end{equation}

Dimostrazione perch\'e viene detta equazione d'onda
\begin{equation}
x_1 = x + v \, t
\end{equation}

\begin{equation}
x_2 = x - v \, t
\end{equation}

\begin{equation}
x = \frac{x_1 + x_2}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
t = \frac{x_1 + x_2}{2 v}
\end{equation}

\begin{equation}
\xi  (x,t) = f (x_1,x_2)
\end{equation}

\begin{equation}
\dot{\xi} = v (f_1' - f_2')
\end{equation}

\begin{equation}
\ddot{\xi} = v^2 \left[ f_{11}'' + f_{22}'' - 2 f_{12}''\right]
\end{equation}

\begin{equation}
v^2 \xi'' = v^2 \left[ f_{11}'' + f_{22}'' - 2 f_{12}'' \right]
\end{equation}

\begin{equation}
f_{12}'' = \frac{\partial^2 f}{\patial x_1 , \partial x_2} = 0
\end{equation}

qualcosa manca

Ho scoperto che l'equazione d'onda \`e soddisfatta dall'equazione
\begin{equation}
\xi (x,t) = \hat{f}(x + v \, t) + \hat{g}(x - v \, t)
\end{equation}

supponiamo che la $\hat{g}$ sia una funzione fatta

GRAFICO DI $\hat{g}$